Es gibt verschieden Möglichkeiten.
Zugriff auf Karaf:
ssh openhab@localhost -p8101 verbindet Dich direkt aus der GNU/Linux Konsole auf die Karaf Konsole. Das Passwort ist habopen, so Du es nicht geändert hast.
Die zweite Möglichkeit läuft, wie Du schon entdeckt hast, über den Befehl
openhab-cli console.
Im Unterschied zur zweiten Variante kann die erste Variante allerdings auch remote erfolgen (also ohne eine ssh-Session auf die GNU/Linux Konsole aufzubauen). Voraussetzung dafür ist, dass man den remote Zugriff auf die Karaf Konsole erlaubt. Wie bei ssh üblich ist es möglich, sich über private/public key zu authentisieren, was den direkten Login nach Karaf z.B. aus VSCode heraus extrem komfortabel gestalten kann.
Zugriff auf das Log: frontail ist die Variante, welche über den Browser funktioniert. Allerdings siehst Du dort nur eine begrenzte Anzahl Zeilen.
Eine zweite Möglichkeit ist der Zugriff über die Karaf Konsole,
log:display zeigt auch hier die letzten Zeilen an.
log:tail schaltet in den bekannten "Live-Modus".
Da das Log (eigentlich sind es ja mehrere) in Dateien landet, kannst Du aber auch über die Dateien gehen. Unter GNU/Linux liegen log-Dateien allgemein im Verzeichnis
/var/log/. openHAB legt dort einen Unterordner openhab an, in dem sich die verschiedenen log-Dateien befinden. Willst Du eine Live-Ansicht, so reicht ein
tail -f /var/log/openhab/events.log, um die events zu Gesicht zu bekommen. Hier kann man aber auch gleich sehen, dass nur ein Teil der Meldungen angezeigt wird. Fehler landen nämlich in der Datei
openhab.log, nicht in
events.log. Entsprechend müsste man im Zweifel mehrere logs paralell öffnen. Oder man verwendet das Tool multitail (zu installieren mittels
sudo apt install multitail), welches beliebig viele log-Dateien parallel live darstellen kann.
Meist ist die Live-Ansicht im Browser die bequemste Variante. Auf die Dateien greift man eher zurück, um auch ältere Daten einsehen zu können.
Beim Blick in das Verzeichnis /var/log/openhab/ werden Dir diverse Dateien auffallen, die einen ähnlichen Namen tragen. openHAB rolliert die logs automatisch, das heißt, man kann über diese Dateien noch sehr viel weiter in die Vergangenheit schauen als nur bis zum Anfang der jeweiligen Datei. Wer will, kann die Logs automatisch packen lassen und anschließend archivieren. Das wäre dann aber eher ein Job außerhalb openHAB.
Es gibt unter systemd ein zentrales log-System, welches über den Befehl
journalctl abgerufen werden kann. Standardmäßig hat nur root Zugriff (
sudo journalctl), man kann aber auch andere User zur
Gruppe journalctl hinzufügen, damit diesen ebenfalls Einsicht gewährt wird. Der Schwerpunkt dieses Logs sind Systemdienste, aber z.B. werden dort auch Informationen über den Start von Diensten gespeichert, auch openHAB betreffend.
Ich betrachte Fragen zu GNU/Linux grundsätzlich als OnTopic

weil es doch für viele Leute ungewohntes Terrain ist. Das Internet ist zwar voll von Informationen, aber Vieles ist an so vielen Stellen unterschiedlich beschrieben, dass man schnell verzweifeln kann.
openHAB4.3.3 stable in einem Debian-Container (bookworm) (Proxmox 8.3.5, LXC), mit openHABian eingerichtet